Unityで貼り付けたボタンをスクリプトからクリックしたい場合はExecuteEvents.Executeを使って次のような感じで実装できるみたいです。

使い方

import UnityEngine.UI;
import UnityEngine.EventSystems;

public Button button; // クリックしたいボタン

void Example()
{
  // ボタンをクリック
  ExecuteEvents.Execute(
    button.gameObject,
    new PointerEventData(EventSystem.current),
    ExecuteEvents.pointerClickHandler);
}

ちなみに、ボタンにフォーカス（Enterキーでクリックできる状態）したい場合は
SetSelectedGameObjectが使えます。（過去記事）

リンク

Unity – Scripting API: EventSystems.ExecuteEvents.Execute
https://docs.unity3d.com/2018.3/Documentation/ScriptReference/EventSystems.ExecuteEvents.Execute.html

Unityでキーボードを使ってUIのフォーカスを移動したい場合はNavigationが使えるみたいです。

Inspectorから設定することもできますが、スクリプトから設定したい場合は次のような感じで実装できます。

Navigation navigation = new Navigation();

navigation.mode = Navigation.Mode.Explicit;
navigation.selectOnUp = button1; // 上キーでフォーカスを移したいところ
navigation.selectOnDown = button2; // 下キーでフォーカスを移したいところ
navigation.selectOnLeft = button3; // 左キーでフォーカスを移したいところ
navigation.selectOnRight = button4; // 右キーでフォーカスを移したいところ

button.navigation = navigation;

こんな感じで設定すれば、buttonにフォーカスがある時に上キーを入力するとbutton1にフォーカスが移動し、左キーを入力するとbutton3にフォーカスが移動します。

SetSelectedGameObject

ちなみに、最初起動したばかりの段階ではどこにもフォーカスがありません。

初期値としてどこかにフォーカスを設定したい場合はSetSelectedGameObjectを使って設定できます。

参考: UnityのUIでフォーカスを移したい場合はSetSelectedGameObject