Unityでクラスの継承を利用する場合、単にvoid Start()やvoid Update()と書くと継承元の実装は呼び出されない形になります。

サンプル１

public class Example1 : MonoBehaviour
{
  void Start()
  {
    Debug.Log("Start1");
  }
  void Update()
  {
    Debug.Log("Update1");
  }
}

public class Example2 : Example1
{
  void Start()
  {
    Debug.Log("Start2");
  }
  void Update()
  {
    Debug.Log("Update2");
  }
}

Example2の実行結果

Start2
Update2
Update2
Update2
...

このExample2から継承元Example1のStartやUpdateを呼び出したい場合はvirtual protectedとoverride protectedを使って次のような感じで実装できるみたいです。

サンプル２

public class Example1 : MonoBehaviour
{
  virtual protected void Start()
  {
    Debug.Log("Start1");
  }
  virtual protected void Update()
  {
    Debug.Log("Update1");
  }
}

public class Example2 : Example1
{
  override protected void Start()
  {
    base.Start();
    Debug.Log("Start2");
  }
  override protected void Update()
  {
    base.Update();
    Debug.Log("Update2");
  }
}

Example2の実行結果

Start1
Start2
Update1
Update2
Update1
Update2
Update1
Update2
...

base.を使った継承元メソッドの呼び出しはStartやUpdate以外でも使えます。必要な場所で試してみてください。