Unityで貼り付けたボタンをスクリプトからクリックしたい場合はExecuteEvents.Executeを使って次のような感じで実装できるみたいです。

使い方

import UnityEngine.UI;
import UnityEngine.EventSystems;

public Button button; // クリックしたいボタン

void Example()
{
  // ボタンをクリック
  ExecuteEvents.Execute(
    button.gameObject,
    new PointerEventData(EventSystem.current),
    ExecuteEvents.pointerClickHandler);
}

ちなみに、ボタンにフォーカス（Enterキーでクリックできる状態）したい場合は
SetSelectedGameObjectが使えます。（過去記事）

リンク

Unity – Scripting API: EventSystems.ExecuteEvents.Execute
https://docs.unity3d.com/2018.3/Documentation/ScriptReference/EventSystems.ExecuteEvents.Execute.html

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